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El aprendizaje de la geometría implica el desarrollo de habilidades visuales y de argumentación.
Para que el aprendizaje de la geometría no carezca de sentido, es importante buscar un equilibrio entre la asociación de habilidades de visualización y argumentación, pues ambas habilidades son fundamentales dentro del proceso formativo del individuo, pensar lógicamente o pensar geometricamente significa comprender el orden predeterminado en que la realidad se presenta al ser humano.
El humano, desde su infancia, crea representaciones del mundo físico que le rodea con los patrones (formas repetidas) que observa en la naturaleza. Estas le generan una necesidad (teórica y práctica) para lograr el entendimiento del mundo.
El hemisferio derecho del cerebro resulta ser el más beneficiado ante la presencia de estímulos visuales, a diferencia del hemisferio izquierdo, que tiene la responsabilidad de desarrollar las capacidades verbales para comunicar lo que ha visto y como la ha visto.
El estudio de la geometría contribuye significativamente al desarrollo de esas necesidades espaciales de visualización que requiere el hemisferio derecho; sin embargo, hasta una época histórica reciente los estudios sobre el pensamiento lógico o geométrico han sido vinculados a la capacidad de distinguir correctamente el espacio y los cuerpos que le ocupan.
La geometría es la rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio y floreció en la antigüedad en Egipto, Sumeria y Babilonia, siendo refinada y sistematizada por los antiguos griegos.
En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.
Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.
En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados.
Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.
Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: 'una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos'.
Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas.
Entre estos teoremas se encuentran: 'la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos', y 'el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados' (conocido como teorema de Pitágoras).
La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue documentada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos.
Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando solo una regla de borde recto y un compás.
Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales.
Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo fue finalmente demostrada hasta 1882.
Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales.
Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría.
Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros.
También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (π), la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo, y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época.
Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra.
Este es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.
La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea.
Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado 'postulado paralelo' de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones.
Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional.
Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional.
Aunque este es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido.
El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad.
También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones.
Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX.
En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.
Hoy en día incluso se piensa, de acuerdo con la ciencia y sus demostraciones, que las estructuras más básicas de la naturaleza son geométricas en mayor o menor grado.